Michal Kolesa - 6/8/2012 - 22:16
Dá se nějak jednoduše vysvětlit jak se počítá trajektorie sondy ze Země k planetě, aby ji sonda zastihla, když je nejblíže k zemi ?
Agamemnon - 6/8/2012 - 22:21
v prvom priblížení zoberieš rovnice pre pohyb planéty a pohyb sondy a hľadáš takú situáciu, kde budú v rovnakom čase na rovnakom mieste...
v reálnej situácií to simuluješ, pretože na každý z tých objektov pôsobí gravitačne viacero objektov a rovnice pre n-body problém sú veľmi zložité, ak vôbec...
wintermute- - 6/8/2012 - 23:26
citace:
Dá se nějak jednoduše vysvětlit jak se počítá trajektorie sondy ze Země k planetě, aby ji sonda zastihla, když je nejblíže k zemi ?
Na to vam staci riesit vzajomnu polohu zeme a danej planety pre pripad ked su najblizsie. To sa da analyticky. To dostanete cas a polohy ked su najblizsie, no a potom idete pozadu , to znamena ako keby z tejto polohy letela sonda na zem a planety sa pohybovali opacne.
Pomocou sustavy diferencialnych rovnic sa numericky spocita pohyb sondy, on sa este deli na viac casti a prechod medzi jednotlivymi castami sa riesi zapalenim motora na nejaku presne urcenu dobu. Obvykle bud len brzdite, alebo len pridavate. Z toho dostanete okno, kedy moze sonda startovat. Ak sa chcete trafit este aj na kokretne miesto na planete bez nejakeho velkeho manervovania v okoli planety, tak sa vam to okno rapidne zmensi (respektive moze ist o viac okien ale pomerne malych). Okno je cas, v ktorom ked sonda vystartuje tak ju dokazete vmanevrovat, tam kde potrebujete s tym palivom, ktore mate. Cim viac paliva, tym sa da viac manevrovat, tym viete mat okno vacsie. Ono trafit sa na planetu zas nieje az taka veda (to dokaze aj hocijaky kamen vo vesmire), horsie je to s tym pristatim.
dodge - 6/8/2012 - 23:50
Přesné efemeridy dokázal spočítat už Johannes Kepler na počátku 17. století.
Agamemnon - 7/8/2012 - 07:20
citace:
Přesné efemeridy dokázal spočítat už Johannes Kepler na počátku 17. století.
co si matne spominam... tak az take presne to nebolo a zavadzali rozne korekcie apod...
napr. stacanie perihelia merkuru sa vysvetlilo az gtr, a dovtedy to nesedelo...
alebo si to pamatam zle?
dodge - 7/8/2012 - 07:24
citace:
citace:
Přesné efemeridy dokázal spočítat už Johannes Kepler na počátku 17. století.
co si matne spominam... tak az take presne to nebolo a zavadzali rozne korekcie apod...
napr. stacanie perihelia merkuru sa vysvetlilo az gtr, a dovtedy to nesedelo...
alebo si to pamatam zle?
Z hlediska tehdejšího stavu vědy a oproti nejstarším doloženým efemeridám z doby 2000 let př.n.l. zcela určitě.
Agamemnon - 7/8/2012 - 07:29
citace:
Z hlediska tehdejšího stavu vědy a oproti nejstarším doloženým efemeridám z doby 2000 let př.n.l. zcela určitě.
aha... ja som myslel, ze tato otazka smeruje k tomu, ako sa navedie msl na mars...
david - 7/8/2012 - 10:32
citace:
citace:
Dá se nějak jednoduše vysvětlit jak se počítá trajektorie sondy ze Země k planetě, aby ji sonda zastihla, když je nejblíže k zemi ?
Na to vam staci riesit vzajomnu polohu zeme a danej planety pre pripad ked su najblizsie. To sa da analyticky. To dostanete cas a polohy ked su najblizsie, no a potom idete pozadu, to znamena ako keby z tejto polohy letela sonda na zem a planety sa pohybovali opacne.
Pomocou sustavy diferencialnych rovnic sa numericky spocita pohyb sondy, on sa este deli na viac casti a prechod medzi jednotlivymi castami sa riesi zapalenim motora na nejaku presne urcenu dobu. Obvykle bud len brzdite, alebo len pridavate. Z toho dostanete okno, kedy moze sonda startovat. Ak sa chcete trafit este aj na kokretne miesto na planete bez nejakeho velkeho manervovania v okoli planety, tak sa vam to okno rapidne zmensi (respektive moze ist o viac okien ale pomerne malych). Okno je cas, v ktorom ked sonda vystartuje tak ju dokazete vmanevrovat, tam kde potrebujete s tym palivom, ktore mate. Cim viac paliva, tym sa da viac manevrovat, tym viete mat okno vacsie. Ono trafit sa na planetu zas nieje az taka veda (to dokaze aj hocijaky kamen vo vesmire), horsie je to s tym pristatim.
Komplikací je, že se sonda po startu pohybuje několik dní v gravitačním poli Země, pak několik měsíců v gravitačním poli Slunce a nakonec opět několik dní v gravitačním poli cílové planety. Tím gravitačním polem myslím prostor, kde gravitace toho kterého objektu převládá.
wintermute- - 7/8/2012 - 13:10
citace:
Komplikací je, že se sonda po startu pohybuje několik dní v gravitačním poli Země, pak několik měsíců v gravitačním poli Slunce a nakonec opět několik dní v gravitačním poli cílové planety. Tím gravitačním polem myslím prostor, kde gravitace toho kterého objektu převládá.
To je ten dovod, preco sa to pocita numericky a nie analyticky. Ale to dnes nieje vobec ziaden problem. Trajektoria sa zobrazuje v podstate real-time (na klasickom PC) a pri roznych zmenach parametrov to pocitac v realnom case zobrazi tiez. Napr. ked zapalite motor na urcitu dobu v urcitom mieste tak nieje problem hned vidiet ako to ovplyvni trajektoru. V dobe letu na mesiac to prepocitavalo niekolko ludi na logaritmickych pravitkach.
Ak ste trosku sikovny matematik, staci stiahnut Wolfram Mathematica a v tom sa to da napisat relativne rychlo. Dokonca aj interaktivne.
wintermute- - 7/8/2012 - 13:12
Ak by si to chcel niekto skusit naprogramovattu ma inspiraciu:
http://demonstrations.wolfram.com/topic.html?topic=solar+system&limit=20
Agamemnon - 7/8/2012 - 13:15
@wintermute: vdaka za linky a ten program... ten som nepoznal... inspiracia sa hodi
ales - 7/8/2012 - 13:31
citace:
Dá se nějak jednoduše vysvětlit jak se počítá trajektorie sondy ze Země k planetě, aby ji sonda zastihla, když je nejblíže k zemi ?
Úplně jednoduše to asi nejde. Pokusím se popsat, jak to vidím já.
Pro minimalizaci delta-v (a tím i spotřeby paliva) je pro přelety mezi planetami (např. mezi Zemí a Marsem) výhodné používat jako dráhu tzv. Hohmanovu elipsu - viz. http://cs.wikipedia.org/wiki/Hohmannova_elipsa .
Pro takovou dráhu je poměrně snadné spočítat dobu půloběhu, tedy dobu letu mezi pericentrem (start u Země) a apocentrem (přílet k Marsu). Mezi Zemí a Marsem je tato doba cca 250 dnů. Pak už je "jen" třeba ze vzájemně se měnící polohy planet určit datum startu, pro které platí, že o 250 dnů později bude Mars na své dráze přesně na opačné straně (vzhledem ke Slunci), než byla Země v den startu. To se nejsnáz dělá "zkusmo" tedy tzv. "numericky". Bere se den po dni a určuje se vzdálenost Marsu od polohy sondy pro cílové datum (250 dní od startu).
Obecně se tedy nehledá okamžik, kdy Mars bude blízko Země, ale datum "správné vzájemné polohy planet".
Vhodná data se periodicky opakují. Mezi Zemí a Marsem je to cca po 26 měsících (2 roky a "kousek"). Příští vhodná data pro start k Marsu jsou v zimě 2013/2014, v časném jaře 2016, v pozdním jaře 2018, v létě 2020, na podzim 2022 atd. Minulé "startovací okno" bylo v listopadu 2011 (kdy také startovala sonda MSL/Curiosity).
Takto lze samozřejmě získat jen přibližná data startu. Další souvislosti, které je třeba vzít do úvahy pro přesnější výpočet, už tu byly zmíněny. Přidal bych k nim ještě např. problémy s hlídáním rovin drah.
HonzaVacek - 24/11/2012 - 21:38
citace:
Sovětů se právě průzkum Venuše nedařil, i když byla nejblíž.
Tak mi to nedalo, abych si to nezpočítal pořádně, ačkoliv nevylučuji, že chybička se mohla vloudit.
Ty hodnoty delta-v, které jsem tu uvedl posledně, byly pro Mars a Venuši srovnatelné (cca 5.6 a 5.2 km/s), ale vycházely pouze z Hohmanovy dráhy.
Ve výpočtech je nyní zahrnut start z LEO, sféra vlivu Země, Hohmannova dráha, sféra vlivu planety a motorické zaparkování na LO u planety. Výška LEO byla 185 km a LO u planety 400 km.
Pro odlet k Marsu a Venuši vychází delta-v srovnatelně (3.577 resp. 3.469 km/s). Jedná se ale od delta-v pro flyby, a sonda by měla ještě zaparkovat, a tady jsou už rozdíly větší. Vycházejí hodnoty 2.066 a 3.247 km/s.
K Marsu je potřeba celkové delta-v 5.643 km/s a k Venuši 6.716 km/s. Venuše je tedy na tom energeticky podstatně hůř než Mars.
[Upraveno 24.11.2012 HonzaVacek]
David - 24/11/2012 - 23:16
Na sondy, které měly k Venuši pouze doletět a buď ji minout, nebo dopADNOUT Z CHODU BYL ENERGETICKÝ NÁROK MENŠÍ NEŽ PRO mARS A PRo SOVĚTY BYLA ROZHODUJÍCÍ I MALÁ VZDÁLENOST pro finální spojení a krátká doba letu s ohledem na chabou životnost vše ve srovnání s několikrát lehčími , výkonnnějšími a vysoce spolehlivými sondami americkými.
Pepa z Depa - 25/11/2012 - 02:15
citace:
Na sondy, které měly k Venuši pouze doletět a buď ji minout, nebo dopADNOUT Z CHODU BYL ENERGETICKÝ NÁROK MENŠÍ NEŽ PRO mARS A PRo SOVĚTY BYLA ROZHODUJÍCÍ I MALÁ VZDÁLENOST pro finální spojení a krátká doba letu s ohledem na chabou životnost vše ve srovnání s několikrát lehčími , výkonnnějšími a vysoce spolehlivými sondami americkými.
Logicky vzato ano ale aparat pristavajici na povrchu Venuse a to je bohuzel nezvratny fakt,tu vzdalenost svou vahou a pod.urcite vykonpenzoval.Mam dojem ze dokonce probehl i odber vzorku s analizou na pozdejsich sondach a to i amici ohodnotili jako ok ready.Rusaky nechcu obhajovat ale Venery se jim povedly to klobouk dolu.Apollo je sejmulo ale obdobne neco malo vzorku z Mesice automaticky dovezli a umeli toho hlavne u nas vyuzit.Lidi lze zblbnout uplnou kravinou - Vlado je toho malym dukazem.ALE opravdu malym.
jamsed - 25/11/2012 - 07:40
citace:
Na sondy, které měly k Venuši pouze doletět a buď ji minout, nebo dopADNOUT Z CHODU BYL ENERGETICKÝ NÁROK MENŠÍ NEŽ PRO mARS ...
Jenže vstup do atmosféry přímo z přeletové dráhy vyžaduje přesné zamíření do vstupního koridoru - pokud jej minete sonda buď shoří v atmosféře, nebo se odrazí zpět do vesmíru.
PINKAS J - 25/11/2012 - 08:44
Otázka pro p. Honzu Vacka nebo p. Wintermute:
Kdysi dávno pan Vacek při rozboru odletu sondy na GTO, k Měsíci nebo únikovou dráhu uvedl princip: „operuj co nejníže“, to znamená odletové dv udělit v co možná nejnižším perigeu základní LEO dráhy. Logicky z toho vyplývá, že by to mělo být realizováno v co nejkratším čase, dokud se dráha příliš nezvedne z perigea. Také by z toho vyplynulo, že je lépe, aby měl motor větší tah a tím dosáhnul dv rychleji. Na př: třetí stupeň Saturnu 5 měl na LEO hmotu i s UZ cca 135.000 kg, tah J2 byl 105 tun. U Delty4 Heavy při nosnosti na GTO 10 tun je hmota 2. stupně i s UZ na LEO cca 20.000 kg a tah motoru cca 10 tun. Jaký by měl být maximální poměr hmoty na LEO k tahu, aby se dráha ani dv příliš nelišily od teoretické hodnoty (udělení dv okamžitě) ? Nebo na tom nezáleží?
PINKAS J - 25/11/2012 - 08:47
Spíše jsem chtěl říci, aby se pro plánované dv nebylo třeba více paliva.
Agamemnon - 25/11/2012 - 09:10
neviem, či to odpovie na otázku, ale tu je popis toho efektu:
http://en.wikipedia.org/wiki/Oberth_effect
(jop, viem, wikipedia, etc...)
"For the Oberth effect to be most effective, the vehicle must be able to generate as much impulse as possible at the lowest possible altitude; thus the Oberth effect is often far less useful for low-thrust reaction engines such as ion drives, which have a low propellant flow rate."
PINKAS J - 25/11/2012 - 09:55
@ Agamemnon:
Dík moc, je to přesně ono a je to jak jsem předpokládal.
novák - 25/11/2012 - 09:55
Davide, Honza Vacek uvedl čísla ( Ma 3.577 resp. Ve 3.469 km/s). Jedná se od delta-v pro flyby).
Vy přesto tvrdíte, že "Na sondy, které měly k Venuši pouze doletět a buď ji minout, nebo dopADNOUT Z CHODU BYL ENERGETICKÝ NÁROK MENŠÍ NEŽ PRO mARS ".
Máte vlastní čísla, nebo jen zvysoka Honzu Vacka ignorujete?
David - 25/11/2012 - 10:13
Mars se ale na rozdíl od Venuše pohybuje po výrazně eliptické dráze a v oblasti apogea setrvává déle než v oblasti perigea, z čehož lze dovodit, že převážně bude při letu k němu potřeba rychlosti vyšší než je průměrná.
Agamemnon - 25/11/2012 - 10:17
@david:
toto:
http://en.wikipedia.org/wiki/Delta-v
a toto:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit
a prípadne toto - základy orbitálnej mechaniky:
http://braeunig.us/space/orbmech.htm
aby si pochopil o čo ide... a ako to funguje...
edit:
sorry, ale na orbitálnu mechaniku úplne intuitívne rozmýšľanie a obyčajný sedliacky (selský) rozum nestačí...
minimálne kým človek nepochopí základy
[Edited on 25.11.2012 Agamemnon]
PINKAS J - 25/11/2012 - 10:37
Když už jsem v těch úvahách o vlivu velikosti tahu a tedy i zrychlení na spotřebu rakety, neznáte někdo nějaký alespoň přibližný výpočet gravitačních ztrát při startu rakety ? Jak známo, na gravitační ztráty jde značná část počáteční startovní hmoty paliva. Je to složka vektoru tahu, která musí kompenzovat gravitační pád. Tato složka zmenšuje s druhou mocninou úhlové rychlosti a při vyvedení na LRO klesá na nulu. Hodnota ztrát vyjádřená v palivu dále časově závisí na zbývající hmotě podle Ciolkovského rovnice. Dále by měla záviset přímo úměrně na čase, jaký je třeba k vyvedení na LEO, tedy přebytku tahu k hmotě – na zrychlení. Gravitační ztráty vyjádřené množstvím paliva závisejí také na Isp. Neboli je to dohromady velmi složitá závislost.
Kdysi jsem uváděl nějaký vztah, kde byla zabudovaná formule e ^(g.t /Isp). Nevím, zda je to správné, rozhodně to nezahrnuje všechno.
pospa - 25/11/2012 - 19:00
Před pár hodinami skončil letošní třídenní seminář pro veřejnost Kosmonautika a raketová technika na hvězdárně ve Valašském Meziříčí.
http://www.astrovm.cz/cz/program/kalendar-akci/kosmonautika-a-raketova-technika3.html
Možná by Vás v programu zaujala přednáška profesora Jana Kusáka :
ZMĚNY DRAH KOSMICKÝCH OBJEKTŮ A TECHNICKÉ MOŽNOSTI K JEJICH ZABEZPEČENÍ
Někteří sice v sále zívali nad grafy, schematy a vzorečky, ale o tom to téma celé je.
V podstatě kompletní přednáška prof. Kusáka je i obsahem tištěných sylabů přednášek, které bývají s mírným zpožděním i na webu hvězdárny ke stažení v pdf. Zvukový záznam bude také.
Než se tak stane, můžete si prostudovat alespoň tento dokument, jenž byl z větší části obsahem včerejší přednášky. http://predmet.kosmo.cz/files/prednaska02c.pdf
(doporučená literatura na str.7)
Edit:
Pro informaci, takto vypadal loňský ročník téže akce 
http://www.oblohanadlani.eu/vystupy-projektu/vzdelavaci-materialy/materialy-ze-vzdelavaciho-seminare-kt-pilotovane-lety-2011.html
HonzaVacek - 26/11/2012 - 01:55
citace:
Mars se ale na rozdíl od Venuše pohybuje po výrazně eliptické dráze a v oblasti apogea setrvává déle než v oblasti perigea, z čehož lze dovodit, že převážně bude při letu k němu potřeba rychlosti vyšší než je průměrná.
Tohle je až příliš zjednodušená úvaha. Největší háček je v tom, že siderická oběžná doba Marsu, je 1.88 roku, ale startovací okna mají periodu 2.14 roku, což je vlastně synodická perioda Marsu vzhledem k Zemi. Ta startovací okna, kdy lze sondu navést optimální dráhu, však nic neříkají o tom, v jakých pozicích jsou planety na drahách kolem Slunce vzhledem ke svým pericentrům. Ty si nemůžeme vybrat a každé startovací okno je tomu jinak. Samozřejmě pozice planet na dráze vzhledem k pericentru má na výsledné delta-v vliv, ale nijak dramaticky veliký.
Nejvíc energie je totiž potřeba na dosažení únikové rychlosti vzhledem k Zemi, a když to přeženu, tak dostat sondu k Marsu nebo Venuši je už jenom takové "lehké pošťouchnutí" navíc. Např. pokud budeme startovat z LEO 185 km potřebujeme k Marsu těch nějakých 3.577 km/s. Tomu odpovídá rychlost 11.370 km/s vzhledem k inerciálnímu souřadnému systému spojenému se Zemí, úniková rychlost vychází na 11.021 km/s.
Ale abych byl konkrétnější, zkusil jsem delta-v k Marsu přepočítat pro čtyři varianty poloh Země a Marsu, kdy planety budou na svých drahách v následujících polohách: apocentum-apocentum, apocentum-pericentrum a obráceně a nakonec pericentrum-pericentrum, což jsou takové extrémní případy. Odletová delta-v se měnila v rozmezí 3.4 až 3.8 km/s. Pro flyby je nejvýhodnější pozice pericentrum-pericentrum s delta-v 3.403 km/s a nejhůře vychází apocentrum-apocentrum s 3.773 km/s. Měnila se i delta-v potřebná k zaparkování u Marsu a zde to vyšlo naopak obráceně. Nejlépe vychází apocentrum-apocentrum s 1.736 km/s a nejhůř naopak pericentrum-pericentrum s 2.463 km/s.
Jenom ještě pro úplnost uvedu nejoptimálnější celkové delta-v, pokud bychom u Marsu chtěli zaparkovat na nízké dráze 400 km motoricky a nikoliv pomocí aerobrakingu. Nejvýhodnější dráha je, pokud se Mars nachází poblíž apocentra a Země podobně. Celkové delta-v pro tento případ je 5.509 km/s.
Ještě pro informaci. Když startoval Viking-1 měla Země pravou anomálii cca 224° a Mars v době příletu sondy 192° a Viking byl zachycen na dráze 1513 x 33000 km. Pokud tedy vezeme výše uvedenou dráhu apogeum-apogeum, která je z těch čtyř podobá té Vigingovské, kde pro zachycení na kruhové dráze 400km vychází 1.736 km/s. Pokud však budeme uvažovat záchytnou dráhu Vigingu 1513x33000 se snížením rychlosti v pericentru ve výši 1513 km, vyjde potřebné delta-v na 644 m/s. Orbiter Vikingu měl k dispozici 1.480 km/s takže bychom se asi dostali i na tu výslednou 357x33943, ale to už jsem nepočítal.
Jestli jsem to spočítal blbě, tak se omlouvám, ale počítám to v Excelu a po operacích copy-paste mi odkazy na buňky ukazovaly někam jinam, ale snad jsem to všechno poopravoval
[Upraveno 26.11.2012 HonzaVacek]
Machi - 26/11/2012 - 02:04
Parametry různých drah k planetám, včetně rychlostí, jsou uvedeny třeba v Encyklopedii kosmonautiky od Lály a Vítka.
Mars a Venuše jsou na tom v podstatě stejně, pokud jde o průletovou misi. V té samé knize jsou i vzorce pro potřebné výpočty.
HonzaVacek - 26/11/2012 - 02:29
Výborná knížka je Mišoň, Pírko: Základy astronautiky, Academia 1974.
PINKAS J - 26/11/2012 - 13:17
Re: Pospíšil: http://predmet.kosmo.cz/files/prednaska02c.pdf
Dík za odkaz, bohužel jsou tam gravitační ztráty zmíněné jen jako součet s aerodynamickými vyjádřené v pojmu „charakteristická rychlost“ , což je rychlost, kterou by raketa dosáhla v prostředí bez gravitace a aerodyn. ztrát. Jejich exaktní výpočet by musel zahrnovat přebytek tahu a jeho průběh během letu, počet stupňů, Isp, změnu gravitace s rychlostí, ubývající hmotu rakety, koeficient aerodynamických ztráty, které brzdí raketu a tím prodlužují čas k vyvedení na dráhu. Jde tedy o soustavu diferenciálních rovnic, ale každý kdo navrhuje raketu musí takový výpočet provézt. Teprve zkouška rakety ukáže jeho přesnost, když se zjistí, kolik paliva bylo skutečně spotřebováno na dosažení LEO a spočte se, jakou char. rychlost by dosáhla raketa s tímto palivem v inerciálním prostředí. Z rozdílu char. rychlosti a kruhové se přes Ciolkovského rovnici spočte, kolik hmoty rakety padlo na gravitační a aerodyn. ztráty.
V odkazu je však důležitý vztah mezi inkinací dráhy a potřebným dv pro změněnu její roviny o úhel di. Ale pozor, to je změna roviny pro stejnou výslednou rychlost. Tento vztah je však obecný pro kruhové rychlosti vk a tedy platí (doufám) i pro GTO rychlosti, když známe rychlost ve vrcholu dráhy.
dv = 2 vk .sin (di/2)
Hodnota vk na GEO dráze je 3,07 km/s, ale satelit na GTO má ve vrcholu rovníkové dráhy rychlost menší o 1,478 km/s (Zenit), tedy satelit má na rovníkové GTO v apogeu rychlost 1,592 km/s
Takže pro GTO se sklonem 28,5° vychází pro změnu roviny a stejnou rychlost:
2 x 1,592 x sin 14,25° = 2 x 1,592 x 0,246 = 0,783 km/s. Tato změna podle vzorce by měla zahrnovat vektorové skládání rychlostí. Pak by satelit měl v rovníkové rovině vyrovnat rychlost s GEO rychlostí – přidat 1,478 km/s, celková změna je 2,26 km/s a to je moc, má být 1,8 km/s. Prosím podívejte se někdo, kde je chyba, dík, už nemám čas.
DH - 26/11/2012 - 13:35
Nebude to tím, že je nesmysl nejprve nezávislým manévrem na vrcholu GTO dráhy změnit inklinaci orbitu (pootočit vektor rychlosti o 28 stupňů) a pak, dalším manévrem, urychlit, tj. zvětšit velikost vektoru rychlosti při zachování směru?
Optimální postup je provést tyto dvě operace zároveň. Tj. změnit vektor rychlosti jedním menévrem rovnou na správnou výslednou hodnotu, tj. směr tečný k GEO orbitě a rychlost GEO cirkulární.
Pak vyjde samozřejmě příslušně méně. V praxi to bude o malinko více, protože manévr se nepodaří uskutečnit v nulovém čase, ale nějakou dobu trvá.
DH - 26/11/2012 - 13:49
Po kontrole výpočtem je to tak.
Vzorec pro deltaV pro změnu inklinace dráhy (mění se jen směr vektoru rychlosti, ne velikost rychlosti) je jednoduchá kosinová věta. Hledáem protilehlou stranu trojúhelniku, přilehlé strany mají obě stejnou velikost rovnou velikosti rychlosti a úhel je právě ten, který svírají roviny oběžných drah, mezi kterými přecházíme.
delta = odmocnina( 2*V*V*(1-cos uhel) )
pro změnu o 28.5 stupně při velikosti 1,592km/s vychází potřebné deltaV při nekonečně rychlém manévru na
delta = 0.783 km/s
Při manévru "rovnou na správnou hodnotu" měníme původní vektor o velikosti V1=1.592 na vektor V2=3.07 přičemž spolu svírají 28.5 stupně. Potřebná změna pak bude (pravá kosinová věta)
delta = odmocnina( V1*V1 + V2*V2 - 2*V1*V2*cos uhel )
což po dosazení dává
delta = odm( 1.592*1.592 + 3.07*3.07 - 2*1.592*3.07*cos(28.5)) = 1.835 km/s
martinjediny - 26/11/2012 - 13:51
citace:
Nebude to tím, že je nesmysl nejprve nezávislým manévrem na vrcholu GTO dráhy změnit inklinaci orbitu (pootočit vektor rychlosti o 28 stupňů) a pak, dalším manévrem, urychlit, tj. zvětšit velikost vektoru rychlosti při zachování směru?
Optimální postup je provést tyto dvě operace zároveň. Tj. změnit vektor rychlosti jedním menévrem rovnou na správnou výslednou hodnotu, tj. směr tečný k GEO orbitě a rychlost GEO cirkulární.
Pak vyjde samozřejmě příslušně méně. V praxi to bude o malinko více, protože manévr se nepodaří uskutečnit v nulovém čase, ale nějakou dobu trvá.
Nie je rozdiel energie pri prechode zo stavu A do stavu B rovnaky, bez ohladu na tvar trajektorie? teda aj potrebne delta v?
(Ak nezaradim "cuvanie", tak vsetky ostatne straty by uz mali byt zanedbatelne...)
DH - 26/11/2012 - 14:01
citace:
Nie je rozdiel energie pri prechode zo stavu A do stavu B rovnaky, bez ohladu na tvar trajektorie? teda aj potrebne delta v?
(Ak nezaradim "cuvanie", tak vsetky ostatne straty by uz mali byt zanedbatelne...)
Dvě dráhy mohou mít stejnou kinetickou energii tělesa (stejnou velikost rychlosti), ale přechod mezi nimi vyžaduje změnu směru vektoru rychlosti, tj. vyžaduje tah motoru, vyžaduje delta-V.
Na konci manévru bude mít těleso vzhledem k povrchu stejnou energii jako původně, ale jiný směr rychlosti, takže jiný sklon orbity k rovníku. Práce motoru se spotřebuje pouze na kinetickou energii spalin vzhlem k povrchu (motor vypustí z trysky "plynovou družici").
Pokud se můžeme tomuto "zbytečnému" vypouštění "plynových družic" vyhnout vhodnou volbou místa startu (např. pro rovníkové dráhy co nejblíže u rovníku - navíc se samozřejmě snažíme co nejvíce využít rotaci povrchu, ale to je nezávislá věc) a času startu (dodržení startovního okna), pak ušetříme na manévrech a z hlediska užitečného nákladu si samozřejmě pomůžeme.
PINKAS J - 26/11/2012 - 17:17
@DH: Dík, je to jasné, myslel jsem si to , že bude chyba ve dvojím manévru. Ten jednoduchý vzorec se sinem vyjde stejně jako z jednoduché kosinové věty, ale oba jsou použitelné jen při stejných rychlostech. Takže správné řešení je manévr najednou a pravá kosinová věta.
Pro zajímavost spočtu dv pro Proton : předpokládám, že apogeová rychlost GTO dráhy se sklonem 51,5° bude stejná, jako u Zenitu: 1,592 km/s:
dv = odm (1.592^2+ 3.07^2 - 2*1.592*3.07*cos(51,6°)) = 2,426 km/s
PINKAS J - 26/11/2012 - 20:15
Aby nedošlo k omylu, Proton nikdy nenechává tu rychlost 2.426 m/s na zákazníkově satelitu, ale změní svým motorem rovinu dráhy na 0° a na zákazníkovi zůstáva cca 1500 m/s, pokud si nepřeje dopravit satelit až na LEO.
HonzaVacek - 26/11/2012 - 23:11
citace:
Ten jednoduchý vzorec se sinem vyjde stejně jako z jednoduché kosinové věty, ale oba jsou použitelné jen při stejných rychlostech. Takže správné řešení je manévr najednou a pravá kosinová věta.
Tohle je obecnější úloha v tom smyslu, když se mění např. vektor rychlosti co do velikosti, co do směru nebo obojí, a nemusí jít pouze o změnu inklinace nebo výšky dráhy. Vždy je na to potřebné nějaké delta-v, které je vlastně velikostí vektoru, který vznikne rozdílem konečného a původního vektoru rychlosti. Pro velikost rozdílu dvou vektorů s využitím vlastností skalárního součinu lze napsat:
PINKAS J - 27/11/2012 - 07:42
Dík p. Vackovi za obecný vztah.
Krátce shrnu předchozí úvahy a výpočty:
Zaokrouhleně pro dosažení standardní GTO (0° inklinace, - 1500 m/s) je nutno:
Při startu z rovníku není třeba k standardní GTO přidávat dv, pro dosažení GEO přidat 1500 m/s
Při startu z Floridy je pro dosažení standardní GTO třeba přidat 300 m/s, přímo na GEO přidat 1800 m/s
Při startu z Baikonuru je pro dosažení standardní GTO třeba přidat 900 m/s, přímo na GEO přidat 2400 m/s
Při startu z Baikonuru je pro dosažení standardní GTO (0° , - 1500 m/s) nutno přidat 3x větší dv než při startu z Floridy: 900m/s oproti 300 m/s. Pro vynesení přímo na GEO je tento rozdíl jen 1,33 x : 2400m/s oproti 1800 m/s.
ales - 27/11/2012 - 09:20
citace:
Zaokrouhleně pro dosažení standardní GTO (0° inklinace, - 1500 m/s) je nutno:
Při startu z rovníku není třeba k standardní GTO přidávat dv, pro dosažení GEO přidat 1500 m/s
Při startu z Floridy je pro dosažení standardní GTO třeba přidat 300 m/s, přímo na GEO přidat 1800 m/s
Při startu z Baikonuru je pro dosažení standardní GTO třeba přidat 900 m/s, přímo na GEO přidat 2400 m/s
Domnívám se, že výše uvedená čísla platí pro přechod z různých GTO přímo na GEO (v apogeu), ale pokud to dobře chápu, tak čistou změnu roviny GTO dráhy nelze provést s tak malými dv (odvozenými z rozdílu dv přechodu přímo na GEO). Pokud chci přejít z GTO se sklonem 28,5° k rovníku na obdobnou GTO (s původní výškou perigea i apogea) ale se sklonem 0° k rovníku, tak podle mne není přímá možnost, jak to provést (v apogeu) s dv menším, než cca 780 m/s (uvedených 300 m/s mi na to nestačí). Myslím, že to vychází z principu vektorového skládání rychlostí, takže při pouhém "zatočení" a přitom ve snaze o zachování původní "dopředné" rychlosti, musím vektorem síly působit částečně i proti původnímu směru letu, což je značně neefektivní. Pokud ale při "zatáčení" chci navíc i zvýšit konečnou "dopřednou" rychlost, tak vektor síly může být směrován efektivněji (nemusí jít "do protisměru").
K základní poučce "manévruj co nejníž" (v perigeu, při co největší rychlosti), která platí pro manévry bez změny roviny dráhy, bych tedy přidal ještě novou "poučku" o tom, že "při změně roviny dráhy manévruj co nejvýš (v apogeu) a pokud možno přitom současně zvedni i perigeum jak to jen jde". Takový manévr je pak podle mne energeticky nejvýhodnější (z hlediska dv).
Jsou tyto moje úvahy správné?
P.S.: Honzy se navíc ještě ptám. Jak přesně počítáš ty odletové a příletové rychlosti pro meziplanetární přelety? Počítáš i se skutečnou elipticitou a reálnou vzájemnou polohou planet (podle data, tedy s "efemeridy"), nebo to zjednodušuješ jen na nějaké vybrané situace? Zájímá mne to, ale nevím přesně jak na to.
DH - 27/11/2012 - 10:01
citace:
K základní poučce "manévruj co nejníž" (v perigeu, při co největší rychlosti), která platí pro manévry bez změny roviny dráhy, bych tedy přidal ještě novou "poučku" o tom, že "při změně roviny dráhy manévruj co nejvýš (v apogeu) a pokud možno přitom současně zvedni i perigeum jak to jen jde". Takový manévr je pak podle mne energeticky nejvýhodnější (z hlediska dv).
Jestliže chci POUZE zvýšit velikost rychlosti a je mi jedno za jakou cenu toho dosáhnu, pak je jedno, kde manévruju.
Jestliže chci co největší energetický přírůstek raketě (zvýšit apogeum), musím použít svou zásobu deltaV v okamžiku, kdy má raketa vůči zemi co nejvyšší rychlost (přidat u kvadratické funkce Ek=mv2/2 nějaké dx se projeví přírůstkem dEk=mv.dv, tedy v závislosti na rychlosti a proto energeticky pro raketu lépe, menší část dostanou spaliny). Čili chci-li "odlétnout pryč" s co nejefektivnějším využitím zásob paliva, pak manévruju co nejníž.
Chci-li měnit směr vektoru rychlosti (měnit sklon dráhy), aniž bych měnil její velikost, pak si vyberu místo, kde k otočení úhlu vektoru potřebuju co nejmenší absolutní deltaV, tedy co nejvýš, místo s nejmenší velikostí rychlosti. To je místo, kde daným deltaV dosáhnu největší relativní změny.
Chci-li provést oba manévry najednou, měnit výšku apogea i sklon dráhy, pak existuje optimální místo, kde to jednoimpulsním manévrem udělat, bude to kompromis. Poslední korekci ale musím vždy udělat v místě tečny ke GEO dráze (tedy až nahoře), protože právě tam a právě tehdy musím svou rychlost srovnat na správný směr a velikost.
Dokonalá optimalizace na užitečný náklad asi nebude jednoduchá a určitě od jistého stupně "nestojí za to". Ušetřit pár m/s na deltaV IMHO asi nevyváží komplikace s řízením a naváděním.
PINKAS J - 27/11/2012 - 11:41
@ Pan Holub:
Omlouvám se, máte pravdu, u rychlostí pro let přímo na GEO ta čísla platí (1500, 1800, 2400)., Rychlost kterou uvádíte pro změnu GTO 28,5°na GTO 0° (min. 780m/s) jsem sám předtím spočetl a uvedl:
Pro Floridu: změna z GTO 28,5°na GTO 0° je:
Dv = 2 x 1,592 x sin 14,25° = 2 x 1,592 x 0,246 = 0,783 km/s.
Pro Baikonur: změna z GTO 51,6° na GTO 0°je:
Dv = 2 x 1,592 x sin 25,8° = 1,385 km/s
Atals 5 uvádí pro své rakety z GTO 28,5° na GEO dv= 1800 m/s a z GTO 0° na GEO dv=1500 m/s. Tato čísla nelze prostě odečíst a musí se to řešit vektorově.
PINKAS J - 27/11/2012 - 13:59
Prosím Adminy zrušit můj příspěvek z 27.11.2012 - 7.42
neboť je tam chyba.
PINKAS J - 27/11/2012 - 14:54
My tady uvádíme více-méně zjednodušené školské příklady vyvedení na GTO nebo GEO. Ve skutečnosti to je někdy značně složitější, zvlášť u raket, které si mohou dovolit více manévrů dost časově rozložených.
Tak např. Proton při vynesení posledního EchoStár 15 nejdříve uvedl satelit na sub-orbitální dráhu, pak převzal práci Breez-M stupeň, který provedl 5-násobný restart: na kruhovou parkovací dráhu, pak na vyšší prozatímní dráhu, pak s dalšími restarty a změnou roviny na GTO dráhu 0°.Celý manévr trval 9 hod., 16 min. Satelit vážil 6,5 tuny, což je hodně při startu s Baikonuru, ale např. značně slabší Zenit3ILS zvládne z rovníku 6,2 tuny, Falcon 9v1.1(Merlin 1D) bude mít na stejnou dráhu nosnost 3,6 tuny.
DH - 27/11/2012 - 15:22
citace:
... více manévrů dost časově rozložených ... 5-násobný restart ... Celý manévr trval 9 hod., 16 min ...
Tak to bude právě asi ta optimalizace manévrování směrem na GEO v praxi. Víceimpulsní manévr je celkově z hlediska nosnosti na GEO efektivnější než školský dvou-impulsní.
V této souvislosti mě napadá, víte někdo, na základě čeho se ze Země vydává povel k zahájení manévru, je to na základě pozemního radarového sledování? Správné nasměrování celého tělesa před zážehem motoru k udělení deltaV musí ale nosič provést samostatně - dostane povel "natočit se na daný směr, defacto k dané hvězdě"?
Agamemnon - 27/11/2012 - 15:28
citace:
V této souvislosti mě napadá, víte někdo, na základě čeho se ze Země vydává povel k zahájení manévru, je to na základě pozemního radarového sledování? Správné nasměrování celého tělesa před zážehem motoru k udělení deltaV musí ale nosič provést samostatně - dostane povel "natočit se na daný směr, defacto k dané hvězdě"?
trajektoria je predprogramovana... a povely zo zeme nedostava...
napr. fregat/briz-m/blok-dm v case manevrov nema spojenie so zemou vobec (kedze rusi este nemaju funkcny system luc)...
centaur je predprogramovany tiez... ten samozrejme ale spojenie so zemou ma (tdrss sa prenajima), ale oni do toho tiez nezasahuju...
zazih je stanoveny tak aby dosiahol pozadovane delta-v - tj., ak je napr. tah motora nizsi ako optimalny, tak zazih trva dlhsie (napr. situacia s poslednou gps deltou iv)
co sa tyka smeru a pod... to neviem najskor nejake sledovanie hviezd...
HonzaVacek - 27/11/2012 - 15:45
citace:
K základní poučce "manévruj co nejníž" (v perigeu, při co největší rychlosti), která platí pro manévry bez změny roviny dráhy, bych tedy přidal ještě novou "poučku" o tom, že "při změně roviny dráhy manévruj co nejvýš (v apogeu) a pokud možno přitom současně zvedni i perigeum jak to jen jde". Takový manévr je pak podle mne energeticky nejvýhodnější (z hlediska dv).
Jenom ještě doplním, že při přechodu z GTO na GEO musí být GTO taková, aby její apogeum leželo nad rovníkem, protože nad ním musí dojít ke změně inklinace.
citace:
Honzy se navíc ještě ptám....
Já jsem si to zjednodušil v tom smyslu, že jsem to počítal jenom ve 2D a pak ještě těmi čtyřmi extrémními případy, ke kterým se skutečnost blíží snad jenom jednou za x hodně let. Skutečný případ je jednak 3D, čili meziplanetární dráha bude mít nějaký sklon k ekliptice, atd., bude tedy mít nějaké orbitální parametry, jako mají např. planety. Druhý háček je v tom, že planety se pohybují po eliptických drahách a když Hohmannovu elipsu napasuji na případ, kdy planety v době odletu a příletu nejsou v pericentrech a apocentrech, tak i směr, kterým se musí sonda vypustit nebude rovnoběžný s aktuálním pohybem planety a na tuhle změnu směru je také potřeba nějaké delta-v. Nejlépe je to vidět, když si na papír namaluji dvě pootočené elipsy, a mezi ně si namaluji něco jako Hohmannovu elipsu zase obecně pootočenou. Takže jak na to?
Nejjednodušší případ je, když je známo, kdy sonda k planetě odlétne a kdy k ní přilétne. Tu trajektorii spočítáme pomocí Lambertova teorému (odkaz na něj tady v některém vlákně kdysi byl). Ten nám vlastně řekne jaký má být počáteční stavový vektor pro odlet, čili vektor polohy a rychlosti. Ze stavového vektoru se pak dají spočítat orbitální elementy přeletové dráhy. Takže např. pro let k Marsu to uděláme následovně. Z efemerid planet si spočítáme polohu a rychlost Země v době odletu (orbitální elementy jsou třeba na http://ssd.jpl.nasa.gov/), pokud to chceme co nejpřesněji použijeme DE405 a nebo pokud se s tím nechceme počítat tak na té samé stránce mají systém Horizons, kterým si ten stavový vektor necháme spočítat. Totéž uděláme pro cílovou planetu v době příletu. Takže známe už stavové vektory obou planet a i dobu letu a spočítáme počáteční stavový vektor trajektorie podle Lamberta. Z něho pak spočteme orbitální elementy dráhy a z nich pak stavový vektor sondy v době příletu. Potřebné delta-v vzhledem k Zemi pak spočítáme z rozdílů vektorů rychlosti přeletové dráhy a Země při startu a vzhledem k planetě pak z vektoru rychlosti sondy a planety a vektoru rychlosti planety v době příletu. Vlastně z toho dostaneme prakticky všechny potřebné informace, a když si s tím trochu pohrajeme, tak i to, jak máme směřovat vektor tahu nebo na jakou dráhu a i s jakou inklinací musíme dostat sondu na oběžnou dráhu kolem Země.
Ono vlastně jenom jde o vektorovou algebru. S čítání a odčítání vektorů, o jejich skalární nebo vektorový součin a přecházení z jednoho souřadného systému do druhého, buď jenom galileovou transformací nebo rotací + plus pár vztahů z nebeské mechaniky (tedy až na ten Lambertův teorém). Hlavně je potřeba s veličinami, které jsou vektrory počítat opravdu jako s vektory. Ono pak je to všechno přehlednější a i jasnější.
Aleši, nevím, jestli jsem ti odpověděl, ale snažil jsem se. Snad jsem to nenapsal moc zmateně.
martinjediny - 27/11/2012 - 17:31
citace:
My tady uvádíme více-méně zjednodušené školské příklady vyvedení na GTO nebo GEO. Ve skutečnosti to je někdy značně složitější, zvlášť u raket, které si mohou dovolit více manévrů dost časově rozložených.
Ono totiz je daleko efektivnejsie korigovat sklon pri nizssich "suborbitalnych" rychlostiach.
Je blbost nabrat plnu rychlost zlym smerom a potom plnu rychlost korigovat.
Takze v okamihu, mimo hustych vrstiev atmosfery, uz mozes menit vektor.
Ja ti to moc presne nepoviem, tuto cast ma v konzorciu na starost Astos solution. http://www.astos.de/solutions/space/inorbit
PINKAS J - 27/11/2012 - 17:50
V odkazu se ale mluví o elektrickém pohonu s malým výkonem, který může zajisti postupný přechod z jedné roviny do druhé v dlouhém čase. U chemické rakety jakoukoliv korekci sklonu dráhy v suborbitální fázi si nedovedu představit. Vždyť raketa má stále mnohem větší rychlost než ve vrcholu GTO a stupně jako Fregat nebo Breez-M začínají pracovat až při vysokých suborbitálních rychlostech – téměř kruhových. V současné době se hlavní korekce provádí až ve vrcholu GTO dráhy, kdy je nejnižší rychlost a je to nejekonomičtější.
martinjediny - 27/11/2012 - 19:53
citace:
V odkazu se ale mluví o elektrickém pohonu s malým výkonem, ...
sorry, mas pravdu.
samozrejme nizkovykonne motory a teda tiez elektricke mozu fungovat az pri orbitalnych rychlostiach, lebo nedokazu vyrovnavat gravitacne straty
EDIT spravny odkaz mal zniet: http://www.astos.de/solutions/space/launcher
ale je to prakticky len referencia, ze to robia. cely kontrakt uhrali tak, ze tato cast sw, v citane navrhu trajektorie je ich. [Editoval 27.11.2012 martinjediny]
ales - 27/11/2012 - 20:37
citace:
... Hlavně je potřeba s veličinami, které jsou vektrory počítat opravdu jako s vektory. Ono pak je to všechno přehlednější a i jasnější. ...
Honzo díky za toto "vektorové připomenutí" a za celkový popis postupu. Snad to chápu. Až budu mít někdy chuť, tak se znovu pokusím připravit si nějaký "skript" na výpočet meziplanetárních přeletů ve Sluneční soustavě (startovní okna a odpovídající impulzní dv [zajímají mne hlavně změny potřebných dv v rámci jednoho startovního okna]).
HonzaVacek - 30/11/2012 - 13:59
citace:
Počítáš i se skutečnou elipticitou a reálnou vzájemnou polohou planet (podle data, tedy s "efemeridy"), nebo to zjednodušuješ jen na nějaké vybrané situace?
Našel jsem si trochu času a spočítal jsem to pro MSL postupem, který jsem výše nastínil, aby byla představa, jak to vyjde tímhle dost zjednodušeným způsobem. Vycházel jsem přitom pouze z data startu 26.11.2011 15:40:00 UTC (26.11.2011 15:41:06 TDB) JD=2455892,15277778 d a data přistání 6.8.2012 5:00:00 UTC (6.8.2012 5:01:07 TDB) JD=2456145,70833333 d. Efemeridy planet jsem počítal podle DE405, abych se vyhnul zbytečným chybám a už jsem to nedělal v Excelu, ale napsal si na to malý prográmek.
Poloha a rychlost Země v heliocentrických ekliptikálních souřadnicích byly v době odletu:
X1=4.3480078407E-01, X2=8.8602661362E-01, X3=-2.7028429895E-05, X=9.8696245248E-01 AU
V1=-2.7239973764E+01, V2=1.3014141013E+01, V3=-1.5186849046E-03, V=3.0189137769E+01 km/s
a to samé pro Mars v době příletu MSL:
X1=-8.6505570536E-01, X2=-1.2693855039E+00, X3=-5.3555384576E-03, X=1.5361281238E+00 AU
V1=2.0936734397E+01, V2=-1.1571157262E+01, V3=-7.5651067990E-01, V=2.3933466861E+01 km/s
Z těchto dvou stavových vektorů pak vychází přeletová elipsa o následujících parametrech vypočtena podle Lambertovy úlohy:
A=1.2603029573E+00 AU, AD=1.5363712195E+00 AU, QR=9.8423469502E-01 AU, EC=2.1904912677E-01, IN=1.4223555729E+00
vyšla tedy elipsa se sklonem k ekliptice 1,4 stupně a podle SPACE40 byl sklon 1,7 stupně. Apocentrum a pericentrum dráhy už souhlasí.
Stavový vektor této dráhy v době odletu je:
X1=4.3480078407E-01, X2=8.8602661362E-01, X3=-2.7028429895E-05, X=9.8696245248E-01 AU
V1=-2.9207947604E+01, V2=1.5492425318E+01, V3=-8.2055590804E-01, V=3.3072537814E+01 km/s
rychlost vzhledem k Zemi tedy vychází na 3.268 km/s, čili C3 by mělo být 10.69 km^2/s^2. MSL měla 10.78, takže se lišíme o 13.7 m/s. Pokud MSL odlétala z dráhy ve výšce 165 km odpovídá C3 rychlosti 11.516 km/s vzhledem k Zemi. Z vypočtené hodnoty 10.69 vychází 11.512, takže je tu rozdíl v delta v 4 m/s.
Vzhledem k Marsu vyšel v době příletu stavový vektor tělesa na přeletové dráze:
X1=-8.6505570536E-01, X2=-1.2693855039E+00, X3=-5,3555384577E-03, X=1.5361281238E+00 AU
V1=1.7657027856E+01, V2=-1.1792954276E+01, V3=5.2266077905E-01, V=2.1239528656E+01 km/s
a relativní rychlost vzhledem k Marsu činila 3.527 km/s a odpovídající hodnota C3=12.44 km^2/s^2. Tady jsem nenašel údaje s čím to porovnat, ale vyšel jsem z časového plánu, který je mám pocit na MEKu. Tam měla MSL ve výšce 30500 km rychlost 3916 m/s, výpočet dal hodnotu 3869 m/s čili o 47 m/s nižší. Rozdíl rychlostí vstupu do atmosféry ve výšce 125 km pak činil 230 m/s. MSL vstoupila rychlostí 5834 m/s a z výpočtu vyšlo 6064 m/s. Jenomže MSL během sestupu nějak manévrovala. Pokud ale by volně padala, vychází z té výšky 30500 km rychlost 6094 m/s, čili rozdíl 30 m/s. Průběh rychlostí je vidět na následujícím obrázku
Zelená křivka je rychlost MSL z toho časového plánu, modrá je odpovídající volný pád a červená křivka vyšla z toho celého počítání přeletu MSL k Marsu.
Takže už je jenom otázka, kolik jsem během počítání nasekal chyb
[Upraveno 30.11.2012 HonzaVacek]
martinjediny - 30/11/2012 - 21:17
To mas tak.
odhadom sa trafi odbornik do 80%
orientacnym vypoctom 85%
zjednodusenym 90%
mesacnym vypoctom na 95%
A NASA za 2roky a 80 milionov na 97%
Jak presne to ma zmysel pocitat?
|
